Реферат Опис випадкових похибок

Розглянемо результати спостережень X за величиною Q як випадкову величину, що може набувати різні значення Хі при різних спостереженнях за нею.

Найуніверсальнішим способом опису випадкових величин є знаходження їх інтегральних або диференціальних функцій розподілу.

Під інтегральною функцією розподілу результатів спостережень слід розуміти залежність ймовірності того, що результат спостереження X, в і-му досліді буде меншим деякого значення X' від самої величини х:

Fx(x) = P{Xі ≤ x}=P{- ∞<Xі ≤ x}. (1)

Розглянемо результати окремих спостережень Xі як випадкові точки на осі Ох, що можуть наближатися до величини Q з лівого боку (рис. 1, а) або ж розміщуватися навколо величини Q (рис. 2, а).

Рис. 1. Асиметричне розміщення результатів спостережень:

а — на осі ОХ; б — інтегральна функція

При переміщенні точки X' праворуч по осі Ох ймовірність того, що в результаті вимірювання точки Xі розташуються лівіше від точки X', зростає, а інтегральна функція асимптотично наближається до 1 (рис. 1, б).

При X' = Q, коли результати вимірювань розміщені з правого та лівого боків від Q (рис. 2, б), інтегральна функція має точку перегину, тобто розподіл результатів відносно істинного значення шуканої величини буде симетричним.

Рис. 2. Симетричне розміщення результатів спостережень:

а — на осі ОХ; б — інтегральна функція

Таким чином, інтегральна функція дає уявлення про розміщення результатів вимірювання Xі відносно істинного значення вимірюваної величини Q.

Наочнішим є опис результатів спостережень і випадкових похибок за допомогою диференціальної функції розподілу ймовірностей. Вона позначається через Рх(х) і відповідно Pδ(δ). Диференціальна функція розподілу є похідною від інтегральної за своїм аргументом:

. (2)

Графік диференціальної функції розподілу, який називається кривою розподілу, має дзвоноподібну форму з максимумом при X = Q (рис. 3, а) і відповідно при δ= 0 (рис. 3, б).

Оскільки інтегральна функція Fx(+ ∞) = 1, справедлива рівність

(3)

Рис. 3. Диференціальні функції розподілу:

а — результатів спостережень; б — випадкових похибок

Таким чином, площа, обмежена кривою диференціальної функції розподілу і віссю абсцис, дорівнює 1, а ймовірність попадання результату спостереження і випадкової похибки у заданий інтервал дорівнює цій площі.

Вирази Pδ(δ)dδ і Px(X)dx називаються елементами ймовірності. Вони дорівнюють ймовірностям того, що випадкові величини δ і Х можуть прийняти деяке значення в інтервалах dδ та dx, тому по формі кривої розподілу можна сказати про те, які інтервали значень випадкових похибок більш чи менш імовірні. Для кривої розподілу випадкових похибок, показаної на рис. 3, більш імовірні малі значення похибок, які лежать навколо δ = 0. Ймовірність великих похибок значно менша.

Таким чином, результати спостережень сконцентровані навколо істинного значення вимірюваної величини, і в міру наближення до нього елементи ймовірності їх виникнення зростають. Це дає право прийняти за оцінку істинного значення вимірюваної величини координату центру тяжіння фігури, утвореної кривою розподілу і віссю абсцис, названої математичним сподіванням результатів спостережень:

(4)

Виходячи з виразу математичного сподівання, можна зробити чіткіше визначення систематичної та випадкової похибок.

Систематичною похибкою називається різниця між математичним сподіванням результатів спостережень та істинним значенням вимірюваної величини:

θ = M[ X ] – Q. (5)

Випадкова похибка — різниця між результатом одиничного спостереження і математичного сподівання результатів:

δ = Xі – M[ X ]. (6)

Виходячи з наведених визначень можна вивести істинне значення вимірюваної величини:

Q = M[ X ] ± Q ± δ. (7)

Список використаної літератури

В.Д.Цюцюра, С.В.Цюцюра. Метрологія та основи вимірювань. Навч. посібн., К., "Знання -Прес", 2003

Ваше имя:
Сообщение:
Код: